Géodésiques

En mathématiques, une géodésique désigne le chemin le plus court entre deux points d’une surface.

Dans le plan, le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite. Ce résultat explique l’inégalité triangulaire vue au collège: « A, B, C étant trois points du plan, AB +BC ≥ AC  » (L’égalité n’étant établie que lorsque B appartient à [AC] ).

Sur une carte la tentation est donc grande de considérer que le plus court trajet entre deux villes est le segment joignant celles-ci. Or, si ces deux villes sont éloignées, le résultat devient faux en général.

En effet, ce serait oublier qu’une carte est une projection sur un plan de la sphère terrestre. Or, les géodésiques à la surface d’une sphère sont des arcs de cercles…

A titre d’exemple, le plus court trajet entre Paris et Hô Chi Minh Ville, est le suivant :

géo

Pour s’en rendre compte, on peut, en utilisant Google Earth, représenter le trajet entre les deux villes et faire un relevé des pays survolés :

carte 6

Les résultats obtenus sont donc loin d’être intuitifs lorsque l’on se fie aux cartes !

Il y a quelques années, ce problème de géodésique fit irruption de façon assez inattendue dans des questions d’ordre religieux. Au nord des Etats Unis, une application  pour téléphones portables calculant la direction de La Mecque indiquait aux fidèles musulmans qu’ils devaient désormais se tourner vers le nord-est pour prier (et non vers le sud-est)… Ce fut une grande surprise et cela provoqua une grande incompréhension : les mosquées n’avaient pas toujours été conçues en connaissance de cause…

qibla

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