Tangrams et découpages

En classe de Cm2, une fois le programme de l’année en géométrie terminé, les élèves appliquent ce qu’ils ont appris en fabriquant des Tangrams !

20160606_130322Les élèves de la classe de Nicole, suivant ou écrivant un programme de construction…

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Tracer, scier, limer, poncer, coller, peindre…

tang 2 tang1 20160624_100052

Si l’origine du Tangram semble se trouver en Chine et remontrer à environ 4000 ans, on peut imaginer qu’il a inspiré un problème qui, lui, n’a été formulé pour la première qu’à la fin de XVIIIème siècle par Charkas Bolyai : peut-on  transformer n’importe quel  polygone en carré de même aire par simple de découpage ?

Pour un triangle équilatéral la réponse est oui, en seulement 4 morceaux :

dud

(Ce découpage est attribué à Henry Dudeney).

Pour un hexagone régulier ? La réponse est encore oui, avec cinq morceaux :

hex

Pour un heptagone régulier, il faut 7 pièces, mais cela est loin d’être évident…

hepMais, ces exemples ne répondent pas à la question de façon générale…

C’est finalement, au début du XIX ème siècle, que trois mathématiciens dont Bolyai lui-même, réussissent à démontrer de façon indépendante que n’importe quel polygone peut bien, par découpage, reconstituer un carré de même aire.

Par contre, la généralisation de ce problème en dimension 3 est impossible. Max Dehn, un étudiant de Hilbert, démontra en 1900 que l’on ne pouvait pas découper n’importe quel polyèdre de façon à composer un cube de même volume…

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