Tangrams et découpages

En classe de Cm2, une fois le programme de l’année en géométrie terminé, les élèves appliquent ce qu’ils ont appris en fabriquant des Tangrams !

20160606_130322Les élèves de la classe de Nicole, suivant ou écrivant un programme de construction…

20160609_123625

Tracer, scier, limer, poncer, coller, peindre…

tang 2 tang1 20160624_100052

Si l’origine du Tangram semble se trouver en Chine et remontrer à environ 4000 ans, on peut imaginer qu’il a inspiré un problème qui, lui, n’a été formulé pour la première qu’à la fin de XVIIIème siècle par Charkas Bolyai : peut-on  transformer n’importe quel  polygone en carré de même aire par simple de découpage ?

Pour un triangle équilatéral la réponse est oui, en seulement 4 morceaux :

dud

(Ce découpage est attribué à Henry Dudeney).

Pour un hexagone régulier ? La réponse est encore oui, avec cinq morceaux :

hex

Pour un heptagone régulier, il faut 7 pièces, mais cela est loin d’être évident…

hepMais, ces exemples ne répondent pas à la question de façon générale…

C’est finalement, au début du XIX ème siècle, que trois mathématiciens dont Bolyai lui-même, réussissent à démontrer de façon indépendante que n’importe quel polygone peut bien, par découpage, reconstituer un carré de même aire.

Par contre, la généralisation de ce problème en dimension 3 est impossible. Max Dehn, un étudiant de Hilbert, démontra en 1900 que l’on ne pouvait pas découper n’importe quel polyèdre de façon à composer un cube de même volume…

Pavages

Les pavages sont des recouvrements du plan à l’aide de figures identiques.

Ils constituent un support intéressant pour travailler sur les transformations géométriques. La méthode proposée, dans l’animation qui suit,  utilise les symétrie centrales pour générer des formes « pavantes ».

En classe de 5ème, en préparation de la semaine de la science où leurs travaux seront exposés, les élèves ont ainsi créé des pavages originaux dont voici quelques exemples:

pavage de mathias et erwannoiseau symétrique , couleur

Pavage 2

pavage trop magnifique

(Pavages réalisés les élèves de 5ème C- 2015/2016)

Mais, la méthode utilisée n’est pas la seule qui existe ! Et la classification de ces formes n’est peut-être pas close : A la surprise générale, une nouvelle forme « pavante », a été découverte en 2015, grâce à une étude faite informatiquement sur un très grand nombre de pentagones. Voici le résultat obtenu :

n-DCOUVERTE-MATHEMATIQUE-large570

 

Géodésiques

En mathématiques, une géodésique désigne le chemin le plus court entre deux points d’une surface.

Dans le plan, le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite. Ce résultat explique l’inégalité triangulaire vue au collège: « A, B, C étant trois points du plan, AB +BC ≥ AC  » (L’égalité n’étant établie que lorsque B appartient à [AC] ).

Sur une carte la tentation est donc grande de considérer que le plus court trajet entre deux villes est le segment joignant celles-ci. Or, si ces deux villes sont éloignées, le résultat devient faux en général.

En effet, ce serait oublier qu’une carte est une projection sur un plan de la sphère terrestre. Or, les géodésiques à la surface d’une sphère sont des arcs de cercles…

A titre d’exemple, le plus court trajet entre Paris et Hô Chi Minh Ville, est le suivant :

géo

Pour s’en rendre compte, on peut, en utilisant Google Earth, représenter le trajet entre les deux villes et faire un relevé des pays survolés :

carte 6

Les résultats obtenus sont donc loin d’être intuitifs lorsque l’on se fie aux cartes !

Il y a quelques années, ce problème de géodésique fit irruption de façon assez inattendue dans des questions d’ordre religieux. Au nord des Etats Unis, une application  pour téléphones portables calculant la direction de La Mecque indiquait aux fidèles musulmans qu’ils devaient désormais se tourner vers le nord-est pour prier (et non vers le sud-est)… Ce fut une grande surprise et cela provoqua une grande incompréhension : les mosquées n’avaient pas toujours été conçues en connaissance de cause…

qibla

Sangakus

Au XVII ème siècle, alors que le Japon est isolé de l’influence occidentale, des formes artistiques originales se développent (théâtre de marionnettes, estampes…). Dans le domaine des mathématiques apparaît un type de problème bien particulier : les Sangakus. Gravés sur des tablettes votives en bois, il s’agit -le plus souvent-  d’établir  des relations entre des  grandeurs  géométriques dans des figures minimalistes.

 

De cette époque nous sont parvenus deux beaux théorèmes :

Le premier indique que dans un polygone inscrit dans un cercle, quelque soit la manière de le trianguler ( c’est-à-dire de le découper en triangles disjoints ayant pour sommets les sommets du polygone), la somme des rayons des cercles inscrits dans ces triangles est constante.

 sangaku

 La somme des rayons des cercles est la même dans les deux figures

Un deuxième théorème concerne les quadrilatères inscrits dans un cercle : Les centres des cercles inscrits des deux triangulations possibles sont les sommets d’un rectangle.

richard

Figure réalisée par Richard (4A)

L’originalité des Sangakus  vient de leur côté esthétique. Le caractère épuré des figures dissimule la complexité de leurs propriétés.

L’étude des sangakus est, en classe de 4ème, une excellente occasion d’utiliser Géogébra pour concevoir des protocoles de constructions en utilisant diverses fonctionnalités de ce logiciel (polygones réguliers, polygones inscrits dans un cercle, bissectrices d’angles, perpendiculaires à une droite en un point, tangentes à un cercle…). En prenant exemple sur des modèles anciens, voici des exemples de figures réalisées par les élèves :

 angelica quynh 3 angelica quynh

Travaux réalisés par Quynh et Angélica (4A)

hayeon kervern

Travaux réalisés par Hayeon et  Hyun Ju (à gauche) et par David (à droite) (4A)

lien anh et minh hanh louis sengsu

Travaux réalisés par Lien Anh et Minh Hanh (4B) et par Louis et Seungsu (4A)

Journée du nombre Pi !

Le saviez vous ? Ce 14 mars était la journée du nombre Pi (03/14) !

Et, cette année, le rendez vous était historique 3/14/15 (15 étant les deux décimales suivant 3,14)

C’était donc l’occasion d’inspirer les disciplines littéraires, car Pi est un nombre plein de mystère qui continue à nous intriguer par ses propriétés.

M. Giard nous signe ici un petit poème pour en retenir ses premières décimales ( le nombre de lettre de chaque mot indique les chiffres successifs):

Car l’idée d’amour turlupine le prince!
Peine sur peine enflamme (pyromanie,
Infinis supplices, eau de vie brûlante!)
Tout penser et chaque nuit. Son âme
Expirera tôt… Si piteuse extrémité!
Mais, cette idée d’écriture avec contraintes n’en est pas resté là !
Les élèves de 6èmes A et C ont, à leur tour, réalisé des « pi-èmes » en forme de calligramme. Un travail très riche ou l’attention a été portée sur les points suivants :
– le vocabulaire
– les accords
– les classes grammaticales
– la cohérence textuelle
– l’euphonie
Découvrez les ici :  « pi-èmes » des 6 èmes !

Sections du cube

Lorsqu’un plan « coupe » un cube, on peut obtenir différentes figures régulières comme sections: un triangle équilatéral, un carré, ou même un hexgone régulier. Mais, peut-on obtenir un pentagone régulier?

polygones et sections du cube

S’il est possible d’obtenir une figure régulière de 3, 4 ou 6 côtés, pourquoi ne pourrait-on pas envisager d’obtenir une figure régulière de 5 côtés ?

C’est pourtant bel et bien impossible…

Lire la suite :  une démonstration

Les palindromes à 351 chiffres

4544

La semaine dernière, Cédric Villani, médaille Fields 2010 et directeur de l’Institut Henri-Poincaré, demandait aux visiteurs du site Internet du quotidien Le Monde combien il existait de palindromes à 351 chiffres, puis, quelle était la plus petite différence entre deux de ces palindromes. Le premier défi d’une série à suivre…

Pour mémoire, un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. Par exemple : 35053.

Voici la réponse à ces questions, avec leurs démonstrations…

 défi sur les palindromes à 351 chiffres