Marches aléatoires

Un robot est placé au centre d’une table carrée de coté 90 cm et se déplace en faisant chaque seconde un pas de 10 cm selon une direction parallèle aux côtés de la table prise aléatoirement.

Combien de temps, en moyenne, ce robot va-t-il rester sur la table sans tomber ?

Ce problème, très ouvert, trouvera une réponse au niveau lycée avec la réalisation d’un algorithme simulant cette marche aléatoire.

Comment ?            Lire la suite

Prolongements :

Le temps que passera le robot sur la table est-il proportionnel à la longueur du côté de la table ?

En reprenant l’algorithme présenté pour répondre à la question précédente et en l’adaptant pour différentes longueurs de côté de la table,  voici les temps de chute moyens du robot trouvés :

tableau marche aléatoire

De façon très claire, ces données montrent que le temps de chute moyen n’est pas proportionnel à la longueur de la table. (En traçant le nuage de points associé à ces valeurs on observe que ces points semblent se positionner sur une parabole, ce qui est confirmé par la courbe de tendance que l’on peut obtenir avec un tableur).

Le déplacement du marcheur ivre

marcheur ivre

Prenons l’exemple du marcheur ivre, qui sort d’une soirée très arrosée. Il se dirige au hasard dans les rues de sa ville de résidence, que l’on suppose toutes perpendiculaires. A chaque intersection, il s’engage de façon aléatoire dans une des quatre directions possibles.

Va-t-il retrouver sa maison  ?

 

Des chercheurs ont montré que oui, mais le temps moyen nécessaire est infini… Il n’est donc pas recommandé de tenter l’expérience !

 

En dimension 3, le résultat serait différent : c’est le  « problème du  poisson ivre » ; lui a seulement environ une chance sur trois de retrouver son « domicile »!